若 (h,k)=1 則 (h+k,hk)=1，證明之：

• 若 (h,k)=1
• 則 (h+k,hk)=1，證明之：

〔已知〕 (h,k)＝1 〔 h 與 k 沒有共同的質因數 〕
〔求證〕 (h±k,hk)＝1 〔 h±k 與 hk 沒有共同的質因數〕

〔證明〕只要證明 (h＋k,hk)＝1 就行了～ 〔 (h－k,hk)＝1 證法相同 〕

設(h+k,hk)=d>1 ,則存在一個質因數p使得p∣d
→ p∣h+k , p∣hk
→ p∣(h+k)×h+hk×(-1) 且 p∣(h+k)×k+hk×(-1) (因數組合定理)
→ p∣h×h 且 p∣k×k
因為p為質因數,所以 p∣h 且p∣k
即p為h與k的正公因數(共同質因數)，結果與(h,k)=1相矛盾(因(h,k)=1為互質，沒有共同質因數，則h+k,hk亦為互質關係)，故得證。

同理可證(h-k,hk)=1

-------------------------------------------------------------------------------------------------
●說明一
1、本身可構成本身的因數，如2│2，何以要如此多此一舉？目的要套“公因數定理”又稱為(線性組合)。
2、“│”表示「整除」的意思，即在“│”前面的數為因數，在“│”後面的數為倍數。但倍數不一定都大於因數，如2│-2，其因數(2)大於倍數(-2)。
●說明二
1、公因數定理(線性組合)公式：因數組合定理
若a│b，a│c，
則a│mb+nc，m，n為任意整數。

〔引理〕
(1)若公因數 a 使得 a∣h 、 a∣k
→ a∣( s*h±t*k ) 〔h、k任意倍數的和差〕
(2)若質因數 p 使得 p∣h2 → p∣h
〔符號〕
若 a≠0 且 a 為 h 的因數，記作 a∣h。

符號代表說明：∈=屬於 ∣=整除 Z=整數